MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CAMPOS [1.355]

$\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}$ $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}$

$G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

De acordo com a hipótese de de Broglie, todo objeto no universo está associado a uma onda. Assim, todo objeto, de uma partícula elementar a átomos, moléculas e planetas e além, está sujeito ao princípio da incerteza.

A função de onda independente do tempo de uma onda plana monomodo de número de onda k₀ ou momento p₀ é:^[11] $\psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~$ / $G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$A regra de Born afirma que isso deve ser interpretado como uma função de amplitude de densidade de probabilidade no sentido de que a probabilidade de encontrar a partícula entre a e b é:$

$\operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~$ /

$G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

No caso da onda plana monomodo, $|\psi (x)|^{2}$ é 1 se $X=x$ e 0 caso contrário. Em outras palavras, a posição da partícula é extremamente incerta no sentido de que ela poderia estar essencialmente em qualquer lugar ao longo do pacote de ondas.

Por outro lado, considere uma função de onda que é uma soma de muitas ondas, que podemos escrever como: $\psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~$

$G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

onde A_n representa a contribuição relativa do modo p_n para o total geral. As figuras à direita mostram como com a adição de muitas ondas planas, o pacote de ondas pode se tornar mais localizado. Podemos levar isso um passo adiante para o limite do contínuo, onde a função de onda é uma integral sobre todos os modos possíveis: $\psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~$

$G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

com $\varphi (p)$ representando a amplitude desses modos e é chamada de função de onda no espaço de momento. Em termos matemáticos, dizemos que $\varphi (p)$ é a transformada de Fourier de $\psi (x)$ e que x e p são variáveis conjugadas. Adicionar todas essas ondas planas tem um custo, ou seja, o momento se tornou menos preciso, tendo se tornado uma mistura de ondas de muitos momentos diferentes.^[12]

Uma maneira de quantificar a precisão da posição e do momento é o desvio padrão σ. Como $|\psi (x)|^{2}$ é uma função de densidade de probabilidade para posição, calculamos seu desvio padrão.

A precisão da posição é melhorada, ou seja, σ_x reduzido, usando muitas ondas planas, enfraquecendo assim a precisão do momento, ou seja, σ_p aumentado. Outra maneira de afirmar isso é que σ_x e σ_p têm uma relação inversa ou são pelo menos limitados por baixo. Este é o princípio da incerteza, cujo limite exato é o limite de Kennard.

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